***** Μήκος ***** Φυσικό μέγεθος ============== Τα μεγέθη που χρησιμοποιούμε για την περιγραφή ενός φυσικού φαινομένου λέγονται φυσικά μεγέθη. Το μήκος, το εμβαδόν, ο όγκος, ο χρόνος, η ταχύτητα, η μάζα, η πυκνότητα είναι φυσικά μεγέθη. Με απλά λόγια, φυσικό μέγεθος είναι οτιδήποτε μπορεί να μετρηθεί ποσοτικά (με αριθμούς). Για να μετρήσουμε ένα φυσικό μέγεθος, το συγκρίνουμε με άλλο ομοειδές, το οποίο ονομάζουμε μονάδα μέτρησης. Για να μετρήσουμε το μήκος ενός σώματος, το συγκρίνουμε με ένα ορισμένο μήκος, το οποίο, έπειτα από συμφωνία, θεωρούμε μονάδα μέτρησης, όπως το 1 m. Μονάδες μήκους ============== Στο Διεθνές Σύστημα Μονάδων μέτρησης ή αλλιώς System Internationale (S.I.), η μονάδα μήκους είναι το 1 μέτρο (1 m). .. admonition:: Αρχικά το μέτρο οριζόταν 1 μέτρο είναι το 1/10.000.000 της απόστασης από το βόρειο πόλο μέχρι τον ισημερινό. Γύρω στα 1800. .. image:: img/chapt-1/kilometre_definition.svg.png .. admonition:: Τώρα ορίζεται 1 μέτρο ονομάζεται η απόσταση που διανύει το φως στο κενό, στη διάρκεια 1/299.792.458 του δευτερολέπτου Οι υποδιαιρέσεις του μέτρου είναι: - 1 dm = 1/10 m=0,1 m - 1 cm = 1/100 m=0,01 m - 1 mm = 1/1000 m=0,001 m και το πολλαπλάσιο - 1 km = 1000 m .. admonition:: Info Υπάρχουν και άλλες μονάδες μέτρησης του μήκους, όπως οι αγγλοσαξωνικές μονάδες το πόδι, η γιάρδα και το μίλι. Επίσης υπάρχουν και οι αστρονομικές μονάδες όπως το έτος φωτός που ορίζεται ως η απόσταση που ταξιδεύει το φως σε ένα έτος (κάτι πραγματικά μεγάλο για τα ανθρώπινα δεδομένα). Μετατροπές ========== Για τις μετατροπές αυτές ακολουθούμε τον κανόνα της πυραμίδας (από το δημοτικό). Από μικρότερο προς μεγαλύτερο διαιρούμε και από μεγαλύτερο προς μικρότερο πολλαπλασιάζουμε. Το βασικό είναι να μετράμε σωστά τα "σκαλοπάτια" από την υποδιαίρεση που ξεκινάμε προς την υποδιαίρεση που πηγαίνουμε. .. image:: img/chapt-1/metre-scale.png :height: 200px Όργανα μέτρησης =============== - **Μικρόμετρο**: Μετράει μήκη της τάξης του μm 1 μm=1/1000000 m - **Διαστημόμετρο**: Μετράει με ακρίβεια 0.1 mm - **Αποστασιόμετρο**: Αποστασιόμετρο με laser, Αποστασιόμετρο με υπερήχους `Δείτε `__ και `Δείτε `__ - **Ραντάρ**: Ανιχνεύει και παρακολουθεί στόχους σε μεγάλη απόσταση και με ακρίβεια `Δείτε `__ .. admonition:: Πώς μετράμε την απόσταση Γης-Σελήνης; Ειδικά όργανα laser στέλνουν ακτίνα προς τη Σελήνη. Η ακτίνα χτυπάει σε ανακλαστήρες που έχουν τοποθετήσει στη Σελήνη αστροναύτες. Η απόσταση υπολογίζεται από τον χρόνο που κάνει η ακτίνα να επιστρέψει στη Γη. `Δείτε εδώ `_ Μέση τιμή ========= Στις μετρήσεις μήκους, για παράδειγμα, ο υπολογισμός της μέσης τιμής μάς δίνει μια πιο ασφαλή εκτίμηση της τιμής ενός μήκους. Με τον υπολογισμό της μέσης τιμής, οποιαδήποτε μικρά ή μεγαλύτερα σφάλματα προκύπτουν κατά τη διάρκεια των μετρήσεων αλληλοαναιρούνται κατά κάποιον τρόπο και έτσι επηρεάζουν λιγότερο τους υπολογισμούς μας. Υπολογισμός: MO = Σ / Ν Προσθέτουμε όλους τους αριθμούς, το αποτέλεσμα το διαιρούμε με το πλήθος των αριθμών. Παράδειγμα: Έχω τρεις αριθμούς (Ν=3) 2,4,5. Υπολογίζω το άθροισμα Σ=2+4+5=11 Διαιρώ το άθροισμα με το 3, ΜΟ = Σ/Ν = 11/3 = 3,6666 Ακρίβεια μετρήσεων ================== Η ακρίβεια κάθε μέτρησης περιορίζεται από διάφορους παράγοντες όπως οι ατέλειες και η πεπερασμένη ικανότητα των οργάνων μέτρησης, η πεπερασμένη ικανότητα του πειραματιστή και οι απρόβλεπτες μεταβολές των συνθηκών μέτρησης. .. admonition:: Info Το αποτέλεσμα μιας μέτρησης είναι μόνο μια προσέγγιση ή εκτίμηση της τιμής της φυσικής ποσότητας που υπόκειται σε μέτρηση. Η ακρίβεια μιας μέτρησης εξαρτάται από το όργανο μέτρησης που χρησιμοποιούμε. Όλα τα όργανα έχουν όριο στις μετρητικές τους δυνατότητες. Έχουν πάντα μια ελάχιστη ποσότητα μέχρι την οποία μπορούν να μετρήσουν. Σημαντικά ψηφία μιας μέτρησης θεωρούνται όλα τα ψηφία που μπορούμε να διαβάσουμε με απόλυτη βεβαιότητα συν ένα και μόνο ένα, το τελευταίο, που είναι από εκτίμηση και επομένως είναι αβέβαιο. Στο επόμενο σχήμα φαίνονται δύο χάρακες υποδιαιρεμένοι με διαφορετικό τρόπο. Το αποτέλεσμα με τον χάρακα α) είναι 2.5 δεδομένου ότι ο δείκτης είναι μεταξύ 2 και 3. Το 2 το γνωρίζουμε με απόλυτη βεβαιότητα ενώ το 5 προέρχεται από υποκειμενική εκτίμηση, άρα φέρει αβεβαιότητα. Δεν έχει νόημα επομένως να πούμε ότι η μέτρηση είναι 2,56 αφού ακόμα και το 5 είναι αβέβαιο. Με τον χάρακα αυτό μπορούμε να μετρήσουμε διαφοροποιήσεις του μεγέθους που βρίσκονται μεταξύ 2.0 και 3.0. Η μέτρηση αυτή έχει 2 σημαντικά ψηφία. Το αποτέλεσμα με τον χάρακα β) είναι περισσότερο λεπτομερές γιατί έχει περισσότερες υποδιαιρέσεις. Δεδομένου ότι ο δείκτης είναι μεταξύ 2.4 και 2.5, το αποτέλεσμα εκτιμάται ότι είναι 2.45. Το 2.4 το γνωρίζουμε με απόλυτη βεβαιότητα ενώ το 5 προέρχεται από υποκειμενική εκτίμηση, άρα φέρει αβεβαιότητα. Με τον χάρακα αυτό μπορούμε να μετρήσουμε διαφοροποιήσεις του μεγέθους που βρίσκονται μεταξύ 2.40 και 2.50, κάτι που δεν μπορούμε να κάνουμε με τον χάρακα α). Στην περίπτωση αυτή η μέτρηση έχει 3 σημαντικά ψηφία. .. image:: img/chapt-1/akrivia-1.png Στρογγυλοποίηση =============== Πολλές φορές πρέπει να κάνουμε στρογγυλοποίηση του αποτελέσματός μας. Ο κανόνας που ακολουθούμε είναι: - Εάν το τελευταίο ψηφίο που θα κρατήσουμε ακολουθείται από ψηφίο που είναι μικρότερο από 5, μένει ως έχει. - Εάν το ψηφίο που ακολουθεί είναι μεγαλύτερο ή ίσο με 5 τότε το ψηφίο που θα κρατήσουμε αυξάνεται κατά μια μονάδα. Όταν **προσθέτουμε** ή **αφαιρούμε** αριθμούς κρατάμε στο αποτέλεσμα όσα ΔΕΚΑΔΙΚΑ έχει ο αριθμός με τα **λιγότερα** δεκαδικά. .. admonition:: Παράδειγμα: .. image:: img/chapt-1/akrivia-2.png Όταν **πολλαπλασιάζουμε** ή **διαιρούμε** αριθμούς κρατάμε στο αποτέλεσμα όσα ΣΗΜΑΝΤΙΚΑ ψηφία έχει ο αριθμός με τα **λιγότερα** σημαντικά ψηφία. .. admonition:: Παράδειγμα: .. image:: img/chapt-1/akrivia-3.png Μέση τιμή και στρογγυλοποίηση ============================= Πολλές φορές ο υπολογισμός της μέσης τιμής δίνει αποτέλεσμα με περισσότερα δεκαδικά ψηφία από την ακρίβεια του οργάνου που χρησιμοποιήσαμε για να κάνουμε τις μετρήσεις. Φυσικά δεν είναι σωστό να κάνουμε μετρήσεις με 1 δεκαδικό και να παρουσιάσουμε αποτέλεσμα με 3 δεκαδικά! Λέμε ψέματα! Θα πρέπει να στρογγυλοποιήσουμε το αποτέλεσμα ώστε να έχει τον ίδιο αριθμό δεκαδικών ψηφίων με τις μετρήσεις. Για παράδειγμα αν κάναμε τις μετρήσεις με έναν χάρακα με μικρότερη υποδιαίρεση το χιλιοστόμετρο, οι μετρήσεις μας θα ήταν 12,3 cm με ένα δεκαδικό. Έτσι αν ο μέσος όρος προκύψει 12.32234 cm τότε πρέπει να τον στρογγυλοποιήσουμε στο πρώτο δεκαδικό, δηλαδή να γίνει 12,3 cm. Ερωτήσεις - Ασκήσεις ==================== #. Ποια μεγέθη λέγονται φυσικά μεγέθη; Απάντηση: Οι ποσότητες που μπορούν να μετρηθούν ονομάζονται φυσικά μεγέθη. #. Πώς γίνεται η μέτρηση των φυσικών μεγεθών; Απάντηση: Η μέτρησή τους γίνεται με σύγκριση με ομοειδή μεγέθη, που τα ονομάζουμε μονάδες μέτρησης. #. Αναφέρατε κάποια μεγέθη που είναι φυσικά και κάποια που δεν είναι. Απάντηση: Φυσικά: μήκος, όγκος, μάζα, βάρος, ενέργεια. Όχι φυσικά: φόβος, λύπη, χαρά, απορία, θαυμασμός. #. Πώς μπορούμε να μετρήσουμε το μήκος με ακρίβεια; Απάντηση: Με τη βοήθεια μιας μετροταινίας, ενός χάρακα, ενός διαστημομέτρου, με ακτίνες laser, με gps κ.τ.λ. #. Τι πρέπει να προσέχουμε για να μετρήσουμε χωρίς λάθη το μήκος με μια μετροταινία; Απάντηση: a. η αρχή της μετροταινίας (το 0) πρέπει να συμπίπτει με την αρχή της μετρούμενης απόστασης, b. η μετροταινία δεν πρέπει να είναι διπλωμένη, c. η μετροταινία πρέπει να ακολουθεί ευθεία και παράλληλη προς τη μετρούμενη απόσταση γραμμή, d. η ένδειξη της μετροταινίας που εκλαμβάνεται ως τιμή της μέτρησης πρέπει να συμπίπτει με το τέλος της μετρούμενης απόστασης. #. Μετατροπές υποδιαιρέσεων του μέτρου. Να μετατρέψετε τα… #. 3,4 m σε mm #. 2,34 m σε mm #. 323 mm σε m #. 3,4 dm σε m #. 3,343 dm σε mm #. 13243 mm σε cm #. 23456 mm σε m #. 43,4 cm σε m #. 43,4 cm σε mm #. Μετατροπή πολλαπλασίων του μέτρου. Να μετατρέψετε τα… #. 3323 dm σε km #. 3323 cm σε km #. 3323 m σε km #. 0,54 km σε m #. 0,7644 km σε dm #. 0,4323 km σε mm #. Υπολογισμός Μ.Ο. Κάθε πίνακας περιέχει επαναλαμβανόμενες μετρήσεις του ίδιου μήκους σε μέτρα. Να υπολογίσετε τη μέση τιμή του μήκους σε κάθε πίνακα, χωρίς αριθμομηχανή. Να γράψετε το άθροισμα των μετρήσεων, το πλήθος τους και τη διαίρεση που κάνετε. **Πίνακας 1** === ====== # l (m) === ====== 1 4 2 5 3 6 4 5 5 5 === ====== .. Απάντηση εκπαιδευτικού: άθροισμα 25 m, Μ.Ο. 5 m. **Πίνακας 2** === ====== # l (m) === ====== 1 12 2 11 3 13 4 12 5 11 6 13 === ====== .. Απάντηση εκπαιδευτικού: άθροισμα 72 m, Μ.Ο. 12 m. **Πίνακας 3** === ====== # l (m) === ====== 1 2,3 2 2,5 3 2,4 4 2,2 5 2,6 === ====== .. Απάντηση εκπαιδευτικού: άθροισμα 12,0 m, Μ.Ο. 2,4 m. **Πίνακας 4** === ====== # l (m) === ====== 1 1,24 2 1,26 3 1,25 4 1,23 5 1,27 6 1,25 === ====== .. Απάντηση εκπαιδευτικού: άθροισμα 7,50 m, Μ.Ο. 1,25 m. #. Στρογγυλοποίηση. Να κάνετε στρογγυλοποίηση στους παρακάτω αριθμούς στο 1ο δεκαδικό ψηφίο. #. 3,23 #. 43,4567 #. 123,123456678 #. Υπολογισμός Μ.Ο. και στρογγυλοποίηση Να υπολογίσετε τη μέση τιμή των μετρήσεων κάθε πίνακα χωρίς αριθμομηχανή και να τη στρογγυλοποιήσετε στο ίδιο πλήθος δεκαδικών ψηφίων με τις μετρήσεις. Αρκεί να εκτελέσετε τη διαίρεση μέχρι ένα δεκαδικό ψηφίο παραπάνω από όσα έχουν οι μετρήσεις. **Πίνακας 5** === ====== # l (m) === ====== 1 1,24 2 1,26 3 1,25 4 1,24 5 1,28 === ====== .. Απάντηση εκπαιδευτικού: άθροισμα 6,27 m, Μ.Ο. 1,254 m, στρογγυλοποιημένος Μ.Ο. 1,25 m. **Πίνακας 6** === ====== # l (m) === ====== 1 2,3 2 2,4 3 2,3 4 2,2 5 2,4 6 2,4 === ====== .. Απάντηση εκπαιδευτικού: άθροισμα 14,0 m, Μ.Ο. 2,333... m, στρογγυλοποιημένος Μ.Ο. 2,3 m. **Πίνακας 7** === ====== # l (m) === ====== 1 2,5 2 2,6 3 2,5 4 2,6 5 2,6 === ====== .. Απάντηση εκπαιδευτικού: άθροισμα 12,8 m, Μ.Ο. 2,56 m, στρογγυλοποιημένος Μ.Ο. 2,6 m. **Πίνακας 8** === ====== # l (m) === ====== 1 1,22 2 1,24 3 1,25 4 1,23 5 1,27 === ====== .. Απάντηση εκπαιδευτικού: άθροισμα 6,21 m, Μ.Ο. 1,242 m, στρογγυλοποιημένος Μ.Ο. 1,24 m. **Πίνακας 9** === ====== # l (m) === ====== 1 1,23 2 1,25 3 1,24 4 1,26 5 1,24 6 1,25 === ====== .. Απάντηση εκπαιδευτικού: άθροισμα 7,47 m, Μ.Ο. 1,245 m, στρογγυλοποιημένος Μ.Ο. 1,25 m. **Πίνακας 10** === ====== # l (m) === ====== 1 1,98 2 2,01 3 1,99 4 2,02 5 1,98 === ====== .. Απάντηση εκπαιδευτικού: άθροισμα 9,98 m, Μ.Ο. 1,996 m, στρογγυλοποιημένος Μ.Ο. 2,00 m. Διατηρούμε δύο δεκαδικά ψηφία, όπως στις μετρήσεις.