2. Μαθηματικά

Σημαντικό

Εδώ είναι συγκεντρωμένα μαθηματικά που έχουμε διδαχθεί και είναι χρήσιμα στη φυσική.

Δεν υπάρχει κάτι που δεν έχουμε διδαχθεί σε προηγούμενες τάξεις ή και φέτος. Είναι πράγματα που ήδη γνωρίζουμε.

Εδώ απλά είναι επιλεγμένα μερικά για να τα θυμόμαστε.

2.1. Δυνάμεις

2.1.1. Motivation

Ποια παράσταση είναι ευκολότερο να υπολογίσουμε; (και να βρούμε και σωστό αποτέλεσμα)

Με δυνάμεις:

\[9 \cdot 10^9 \cdot \frac{ 6 \cdot 10^{-9} \cdot 3 \cdot 10^{-9}}{ ({3 \cdot 10^{-3}})^2 } =\]

ή με δεκαδικούς:

\[9,000,000,000 \cdot \frac{ 0.000000006 \cdot 0,000000003 }{ 0.003^2 } =\]

2.1.2. Ιδιότητες δυνάμεων

  • \(a^x \cdot a^y = a ^{x+y}\)

  • \(({a \cdot b})^x = a^x \cdot b^x\)

  • \(a^{x^y} = a ^{x \cdot y}\)

  • \(a^x = \frac{1}{a^{-x}}\)

και μια «σκληρή»:

  • \(\sqrt{a} = a^{1/2}\)

Info

Για παράδειγμα όταν υπολογίζουμε το r στο νόμο του Coulomb, στο τέλος μπορεί στο υπόριζο να έχουμε δυνάμεις π.χ. \(\sqrt{10^6}\). Κάνουμε

\[\sqrt{10^6}=({10^6})^{1/2}=10^{6 \cdot 1/2}= 10^3\]

όντως ισχύει \(10^3 \cdot 10^3 = 10^6\)

elegant?

Α΄ Γυμνασίου Α.7.8

2.1.3. Τυποποιημένη μορφή μεγάλων και μικρών αριθμών

Ένας μεγάλος αριθμός μπορεί να γραφεί στη μορφή \(a \cdot 10^v\), δηλαδή ως γινόμενο ενός αριθμού a επί μια δύναμη του 10. Τη μορφή αυτή την ονομάζουμε τυποποιημένη. Ο αριθμός a είναι ένας δεκαδικός αριθμός με ακέραιο ψηφίο μεγαλύτερο ή ίσο του 1 και μικρότερο του 10.

Α΄ Γυμνασίου Α.3.4

Όπως οι πολύ μεγάλοι, έτσι και οι πολύ μικροί αριθμοί μπορούν να γραφούν σε τυποποιημένη μορφή και συγκεκριμένα στη μορφή: \(a \cdot 10^{-v}\), όπου a είναι ένας δεκαδικός αριθμός με ακέραιο μέρος μεγαλύτερο ή ίσο του 1 και μικρότερο του 10 και v φυσικός αριθμός.

Α΄ Γυμνασίου Α.7.10

2.1.4. Πράξεις με δεκαδικούς αριθμούς - Δυνάμεις με βάση δεκαδικό αριθμό

Στο βιβλίο της Α΄ Γυμνασίου!!

Α΄ Γυμνασίου Α.3.2

2.2. Υποπολλαπλάσια και πολλαπλάσια

Σύμβολα γενικής χρήσης που εμφανίζονται αριστερά της μονάδας του μεγέθους,

π.χ. cm σημαίνει: c υποδιαίρεση, m μονάδα.

Υποπολλαπλάσια

Σύμβολο

Ποσότητα

Λεκτικό

d

\(10^{-1} = \frac{1}{10}\)

deca-

c

\(10^{-2} = \frac{1}{100}\)

centi-

m

\(10^{-3}\)

milli-

μ

\(10^{-6}\)

micro-

n

\(10^{-9}\)

nano-

Πολλαπλάσια

Σύμβολο

Ποσότητα

Λεκτικό

k

\(10^{3}\)

kilo-

M

\(10^{6}\)

mega-

G

\(10^{9}\)

giga-

Προσοχή

  • Οι δεκαδικοί προκαλούν πολύ εύκολα σφάλματα.

  • Οι δεκαδικοί πιάνουν πολύ χώρο.

Σημαντικό

Οι δυνάμεις είναι ο δεύτερος καλύτερος φίλος του ανθρώπου.

Α΄ Γυμνασίου Α.3.5

2.3. Πράξεις με συμμιγείς

Συμμιγείς λέγονται οι αριθμοί οι οποίοι αποτελούνται από ακέραιους αριθμούς που δηλώνουν μονάδες διαφορετικής τάξης: Για παράδειγμα ο αριθμός: 3 ώρες 15 λεπτά και 20 δευτερόλεπτα είναι ένας συμμιγής αριθμός

Παρατηρούμε ότι ο αριθμός αυτός αποτελείται από τα ανεξάρτητα τμήματα διαφορετικής ονομασίας, όπως των ωρών, των λεπτών και των δευτερολέπτων, τα λεπτά, όμως, αποτελούν υποδιαίρεση της ώρας και τα δευτερόλεπτα της ώρας και των λεπτών

Στη σημερινή εποχή με την επικράτηση του δεκαδικού συστήματος οι συμμιγείς αριθμοί τείνουν να καταργηθούν, διατηρούμενοι σε ελάχιστες ίσως περιπτώσεις, όπως αυτές του χρόνου και της ώρας.

Πώς κάνουμε πρόσθεση

  • Γράφουμε τον ένα συμμιγή κάτω από τον άλλο έτσι ώστε οι μονάδες κάθε τάξης να είναι κάτω από τις μονάδες της ίδιας τάξης.

  • Προσθέτουμε χωριστά τους αριθμούς κάθε τάξης, αρχίζοντας από δεξιά (δηλαδή από τις μονάδες της μικρότερης τάξης)

  • Παρατηρούμε προσεκτικά καθένα από τα αθροίσματα που βρήκαμε. Αν κάποιο από αυτά περιέχει μονάδες ανώτερης τάξης, τότε τις βγάζουμε και τις προσθέτουμε στην αμέσως ανώτερη τάξη.

../_images/simigis-1.png

Πώς κάνουμε αφαίρεση

  • Γράφουμε τον μειωτέο επάνω και τον αφαιρετέο κάτω φροντίζοντας ώστε οι μονάδες κάθε τάξης να είναι κάτω από τις μονάδες της ίδιας τάξης.

  • Συγκρίνουμε τις μονάδες κάθε τάξης του μειωτέου με τις αντίστοιχες μονάδες του αφαιρετέου. Αν σε κάθε τάξη οι μονάδες του μειωτέου είναι περισσότερες από εκείνες του αφαιρετέου τότε κάνουμε αφαιρέσεις σε κάθε τάξη χωριστά αρχίζοντας από δεξιά. Αν σε κάποια τάξη οι μονάδες του μειωτέου είναι λιγότερες από εκείνες του αφαιρετέου τότε δανειζόμαστε μια μονάδα από την αμέσως μεγαλύτερη τάξη.

  • Έπειτα μετατρέπουμε τη μονάδα σε μονάδες της μικρότερης τάξης και τις προσθέτουμε στις μονάδες που είχε αρχικά η αντίστοιχη τάξη του μειωτέου.

  • Τέλος κάνουμε αφαιρέσεις σε κάθε τάξη χωριστά.

../_images/simigis-2.png

ΣΤ΄ Δημοτικού 5.51

2.4. Πυθαγόρειο Θεώρημα

Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το άθροισμα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών είναι ίσο με το τετράγωνο της υποτείνουσας.

../_images/pythago-1.png

\(c^2 = a^2+b^2\)

ή

\(c = \sqrt{a^2+b^2}\)

Β΄ Γυμνασίου Β.1.4

2.5. Επίλυση του συνηθέστερου τύπου στη φυσική

Π.χ. οι τύποι \(u=\frac{s}{t}\), \(d=\frac{m}{V}\), \(R=\frac{V}{I}\), \(p=\frac{F}{A}\), \(P=\frac{E}{t}\), \(I=\frac{Q}{t}\), \(V=\frac{E}{Q}\)

Με τον ίδιο τρόπο επιλύονται και οι τύποι \(w=m \cdot g\), \(F=k \cdot x\), \(P=V \cdot I\) οι οποίοι βρίσκονται ήδη στη μορφή που προκύπτει μετά τον χιαστί πολλαπλασιασμό.

Γενικά είναι:

\[a=\frac{b}{c}\]

κάνω χιαστή:

\[a \cdot c =b\]

Σκέφτομαι, ποιος είναι ο άγνωστος;

Αν άγνωστος είναι το b έχω τελειώσει, κάνω αντικατάσταση και τέλος.

Αν άγνωστος είναι το c.

Σκέφτομαι:

  • τι πολλαπλασιάζει το c;

  • το a (ό,τι και να είναι το a, μπορεί να είναι ένα γινόμενο π.χ. mg).

  • Αυτό είναι ο Συντελεστής του αγνώστου.

  • Διαιρώ και τα δύο μέλη με το a.

  • Στο πρώτο μέλος απλοποιείται.

  • Άρα τι μένει;

\[c=\frac{b}{a}\]

Οπτικά τι έγινε; άλλαξε θέση το c με το a.

Info

Χιαστή:

\[\frac{a}{1}=\frac{b}{c}\]

αριθμητής αριστερά x παρανομαστής δεξιά = παρανομαστής αριστερά x αριθμητής δεξιά

\[{a}\cdot{c}={1}\cdot{b}\]

Παράδειγμα

Τύπος, \(E=\frac{1}{2}mu^2\), άγνωστος το m.

Το γράφω σαν κλάσμα:

\[E=\frac{mu^2}{2}\]

κάνω χιαστή

\[E \cdot 2 = mu^2\]

διαιρώ με τον συντελεστή του αγνώστου (\(u^2\))

\[\frac{E \cdot 2}{u^2} = m\]

ή

\[m = \frac{E \cdot 2}{u^2}\]

Τέλος, κάνω αντικατάσταση.

ΣΤ΄ Δημοτικού 2.25

Α΄ Γυμνασίου Α.4

Β΄ Γυμνασίου Α.1